Associativ vs kommutativ
I vores daglige liv er vi nødt til at bruge tal, når vi har brug for at få et mål på noget. I købmanden, på tankstationen og endda i køkkenet er vi nødt til at tilføje, trække fra og gange to eller flere mængder. Fra vores praksis udfører vi disse beregninger ganske ubesværet. Vi bemærker aldrig eller sætter spørgsmålstegn ved, hvorfor vi udfører disse operationer på denne særlige måde. Eller hvorfor disse beregninger ikke kan udføres på en anden måde. Svaret er skjult i den måde, hvorpå disse operationer defineres i det matematiske felt for algebra.
I algebra defineres en operation, der involverer to størrelser (såsom tilføjelse) som en binær operation. Mere præcist er det en operation mellem to elementer fra et sæt, og disse elementer kaldes 'operanden'. Mange operationer i matematik, herunder aritmetiske operationer, der er nævnt tidligere, og dem, der er stødt på i sætteori, lineær algebra og matematisk logik, kan defineres som binære operationer.
Der er et sæt regler, der vedrører en bestemt binær operation. Associerende og kommutative egenskaber er to grundlæggende egenskaber ved binære operationer.
Mere om kommutativ ejendom
Antag, at nogle binære operationer, betegnet med symbolet ⊗, udføres på elementerne A og B. Hvis rækkefølgen af operanderne ikke påvirker resultatet af operationen, siges operationen at være kommutativ. dvs. hvis A ⊗ B = B ⊗ A så er operationen kommutativ.
De aritmetiske operationers tilføjelse og multiplikation er kommutativ. Rækkefølgen af de numre, der er tilføjet eller ganget sammen, påvirker ikke det endelige svar:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Men i tilfælde af division giver ændring i rækkefølgen den gensidige af den anden, og i subtraktion giver ændringen den anden af den anden. Derfor, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 og 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 og 5 ÷ 4 = 1,25 [i dette tilfælde A, B ≠ 1 og 0]
Faktisk siges subtraktionen at være antikommutativ; hvor A - B = - (B - A).
Også de logiske forbindelser, sammenhængen, disjunktionen, implikationen og ækvivalensen er også kommutative. Sandhedsfunktioner er også kommutative. Den indstillede driftsunion og kryds er kommutativ. Tilsætning og det skalære produkt af vektorerne er også kommutative.
Men vektorsubtraktion og vektorprodukt er ikke kommutativ (vektorprodukt af to vektorer er antikommutativ). Matrixtilsætningen er kommutativ, men multiplikationen og subtraktionen er ikke kommutativ. (Multiplikation af to matricer kan være kommutativ i særlige tilfælde, såsom multiplikation af en matrix med dens inverse eller identitetsmatrix; men matricer er bestemt ikke kommutative, hvis matricerne ikke er af samme størrelse)
Mere om tilknyttet ejendom
En binær operation siges at være associerende, hvis rækkefølgen af udførelsen ikke påvirker resultatet, når to eller flere forekomster af operatøren er til stede. Overvej elementerne A, B og C og den binære operation ⊗. Operationen ⊗ siges at være associerende, hvis
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Fra de grundlæggende aritmetiske funktioner er kun addition og multiplikation associerende.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Subtraktion og division er ikke associerende;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 og (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 og (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
De logiske forbindelsesmæssige adskillelse, konjunktion og ækvivalens er associerende, som også den indstillede operationsunion og kryds. Matrixen og vektortilsætningen er associerende. Det skalære produkt af vektorer er associativt, men vektorproduktet er det ikke. Matrixmultiplikation er kun associerende under særlige omstændigheder.
Hvad er forskellen mellem kommutativ og associeret ejendom?
• Både associativ ejendom og kommutativ ejendom er specielle egenskaber ved binære operationer, og nogle tilfredsstiller dem, og andre gør ikke.
• Disse egenskaber kan ses i mange former for algebraiske operationer og andre binære operationer i matematik, såsom skæringspunktet og unionen i sætteori eller de logiske forbindelser.
• Forskellen mellem kommutativ og associerende er, at kommutativ egenskab angiver, at rækkefølgen af elementerne ikke ændrer det endelige resultat, mens den associerende egenskab siger, at rækkefølgen, i hvilken operationen udføres, ikke påvirker det endelige svar.
