Parallelogram vs firkant
Kvadrilaterale og parallelogrammer er polygoner, der findes i euklidisk geometri. Parallelogram er et specielt tilfælde af firsidet. Kvadrilaterale kan være enten plane (2D) eller 3-dimensionelle, mens parallelogrammer altid er plane.
Firkantet
Quadrilateral er en polygon med fire sider. Den har fire hjørner, og summen af de interne vinkler er 3600 (2π rad). Quadrilaterals klassificeres i selvkrydsende og enkle firkantskategorier. De selvskærende firkanter har to eller flere sider, der krydser hinanden, og mindre geometriske figurer.
De enkle firkanter er også opdelt i konvekse og konkave firkanter. Konkave firkanter har tilstødende sider, der danner refleksvinkler inde i figuren. De enkle firkanter, der ikke har refleksvinkler internt, er konvekse firkanter. De konvekse firkanter kan altid have tessellationer.
En stor del af geometrien af firkanter på de indledende niveauer vedrører de konvekse firkanter. Nogle firkanter er meget velkendte for os fra grundskolens dage. Følgende er et diagram, der viser forskellige konvekse firsider.
Parallelogram
Parallelogram kan defineres som den geometriske figur med fire sider med modsatte sider parallelt med hinanden. Mere præcist er det en firkant med to par parallelle sider. Denne parallelle natur giver mange geometriske egenskaber til parallelogrammerne.
Et firkant er et parallelogram, hvis følgende geometriske egenskaber findes.
• To par modstående sider er ens i længden. (AB = DC, AD = BC)
• To par modstående vinkler er ens i størrelse. (
)
• Hvis de tilstødende vinkler er supplerende
• Et par sider, der er modsat hinanden, er parallelle og ens i længden. (AB = DC & AB∥DC)
• Diagonalerne halverer hinanden (AO = OC, BO = OD)
• Hver diagonal opdeler firkanten i to kongruente trekanter. (∆ADB ≡ CDBCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Desuden er summen af kvadraterne på siderne lig med summen af kvadraterne på diagonaler. Dette kaldes undertiden parallelogramloven og har udbredte anvendelser inden for fysik og teknik. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Hver af de ovennævnte egenskaber kan bruges som egenskaber, når det først er konstateret, at firsidet er et parallelogram.
Arealet af parallelogrammet kan beregnes ud fra produktet af længden på den ene side og højden til den modsatte side. Derfor kan arealet af parallelogrammet angives som
Areal af parallelogram = bund × højde = AB × h
Arealet af parallelogrammet er uafhængigt af formen på det individuelle parallelogram. Det afhænger kun af bundlængden og den vinkelrette højde.
Hvis siderne af et parallelogram kan repræsenteres af to vektorer, kan området opnås ved størrelsen af vektorproduktet (krydsprodukt) af de to tilstødende vektorer.
Hvis siderne AB og AD er repræsenteret af henholdsvis vektorerne (
) og (
), er området for parallelogrammet givet ved
hvor α er vinklen mellem
og
Følgende er nogle avancerede egenskaber ved parallelogrammet;
• Arealet af et parallelogram er dobbelt så stort som arealet af en trekant oprettet af en af dens diagonaler.
• Arealet af parallelogrammet deles i halvdelen af enhver linje, der passerer midtpunktet.
• Enhver ikke-degenereret affin transformation tager et parallelogram til et andet parallelogram
• Et parallelogram har rotationssymmetri af rækkefølge 2
• Summen af afstandene fra ethvert indre punkt i et parallelogram til siderne er uafhængig af punktets placering
Hvad er forskellen mellem Parallelogram og Quadrilateral?
• Kvadrilaterale er polygoner med fire sider (undertiden kaldet tetragoner), mens parallelogram er en speciel type firkant.
• Kvadrilaterale kan have deres sider i forskellige planer (i 3d-rum), mens alle sider af parallelogrammet ligger på det samme plan (plan / 2-dimensionel).
• Indvendige vinkler på firkanten kan have en hvilken som helst værdi (inklusive refleksvinkler), således at de tilføjes op til 3600. Parallelogrammer kan kun have stumpe vinkler som den maksimale vinkeltype.
• Fire sider af firkanten kan have forskellige længder, mens de modsatte sider af parallelogrammet altid er parallelle med hinanden og ens i længden.
• Enhver diagonal opdeler parallelogrammet i to kongruente trekanter, mens trekanterne dannet af diagonalen i en generel firkant er ikke nødvendigvis kongruente.
