Sandsynlighedsfordelingsfunktion versus sandsynlighedsdensitetsfunktion
Sandsynligheden er sandsynligheden for, at en begivenhed sker. Denne idé er meget almindelig og bruges ofte i det daglige liv, når vi vurderer vores muligheder, transaktioner og mange andre ting. At udvide dette enkle koncept til et større sæt begivenheder er lidt mere udfordrende. For eksempel kan vi ikke let finde ud af chancerne for at vinde et lotteri, men det er praktisk, ret intuitivt at sige, at der er sandsynligheden for, at en ud af seks vil få nummer seks i en terningkast.
Når antallet af begivenheder, der kan finde sted, bliver større, eller antallet af individuelle muligheder er stort, mislykkes denne ret enkle idé om sandsynlighed. Derfor skal det gives en solid matematisk definition, før man nærmer sig problemer med højere kompleksitet.
Når antallet af begivenheder, der kan finde sted i en enkelt situation, er stort, er det umuligt at betragte hver begivenhed individuelt som i eksemplet med terningerne, der kastes. Derfor opsummeres hele sæt begivenheder ved at introducere begrebet den tilfældige variabel. Det er en variabel, som kan antage værdierne for forskellige begivenheder i den pågældende situation (eller prøveområdet). Det giver matematisk mening til enkle begivenheder i situationen og en matematisk måde at adressere begivenheden på. Mere præcist er en tilfældig variabel en reel værdifunktion over elementerne i prøveområdet. De tilfældige variabler kan enten være diskrete eller kontinuerlige. De er normalt betegnet med store bogstaver i det engelske alfabet.
Sandsynlighedsfordelingsfunktion (eller simpelthen sandsynlighedsfordelingen) er en funktion, der tildeler sandsynlighedsværdierne for hver begivenhed; dvs. det giver en relation til sandsynlighederne for de værdier, som den tilfældige variabel kan tage. Sandsynlighedsfordelingsfunktionen er defineret for diskrete tilfældige variabler.
Sandsynlighedsdensitetsfunktion svarer til sandsynlighedsfordelingsfunktionen for de kontinuerlige tilfældige variabler, giver sandsynligheden for, at en bestemt tilfældig variabel antager en bestemt værdi.
Hvis X er en diskret tilfældig variabel, kaldes funktionen givet som f (x) = P (X = x) for hver x inden for området X sandsynlighedsfordelingsfunktionen. En funktion kan fungere som sandsynlighedsfordelingsfunktionen, hvis og kun hvis funktionen opfylder følgende betingelser.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
En funktion f (x), der er defineret over reelle tal, kaldes sandsynlighedsdensitetsfunktionen for den kontinuerlige tilfældige variabel X, hvis og kun hvis,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx for alle reelle konstanter a og b.
Sandsynlighedsfunktionen skal også opfylde følgende betingelser.
1. f (x) ≥ 0 for alle x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Både sandsynlighedsfordelingsfunktionen og sandsynlighedsdensitetsfunktionen bruges til at repræsentere fordelingen af sandsynligheder over prøveområdet. Almindeligvis kaldes disse sandsynlighedsfordelinger.
Til statistisk modellering udledes standard sandsynlighedsdensitetsfunktioner og sandsynlighedsfordelingsfunktioner. Normalfordelingen og standardnormalfordelingen er eksempler på de kontinuerlige sandsynlighedsfordelinger. Binomialfordeling og Poisson-distribution er eksempler på diskrete sandsynlighedsfordelinger.
Hvad er forskellen mellem sandsynlighedsfordeling og sandsynlighedsdensitetsfunktion?
• Sandsynlighedsfordelingsfunktion og sandsynlighedsdensitetsfunktion er funktioner defineret over prøveområdet for at tildele den relevante sandsynlighedsværdi til hvert element.
• Sandsynlighedsfordelingsfunktioner er defineret for de diskrete tilfældige variabler, mens sandsynlighedsdensitetsfunktioner er defineret for de kontinuerlige tilfældige variabler.
• Fordeling af sandsynlighedsværdier (dvs. sandsynlighedsfordelinger) skildres bedst af sandsynlighedsdensitetsfunktionen og sandsynlighedsfordelingsfunktionen.
• Sandsynlighedsfordelingsfunktionen kan repræsenteres som værdier i en tabel, men det er ikke muligt for sandsynlighedsdensitetsfunktionen, fordi variablen er kontinuerlig.
• Når det er tegnet, giver sandsynlighedsfordelingsfunktionen et søjlediagram, mens sandsynlighedsdensitetsfunktionen giver en kurve.
• Højden / længden af bjælkerne i sandsynlighedsfordelingsfunktionen skal føjes til 1, mens området under kurven for sandsynlighedsdensitetsfunktionen skal føjes til 1.
• I begge tilfælde skal alle funktionens værdier være ikke-negative.
