Parallelogram vs rektangel
Parallelogram og rektangel er firkanter. Menneskets geometri var kendt af mennesker i tusinder af år. Emnet behandles eksplicit i bogen "Elements" skrevet af den græske matematiker Euclid.
Parallelogram
Parallelogram kan defineres som den geometriske figur med fire sider med modsatte sider parallelt med hinanden. Mere præcist er det en firkant med to par parallelle sider. Denne parallelle natur giver mange geometriske egenskaber til parallelogrammerne.
Et firkant er et parallelogram, hvis følgende geometriske egenskaber findes.
• To par modstående sider er ens i længden. (AB = DC, AD = BC)
• To par modstående vinkler er ens i størrelse. (
)
• Hvis de tilstødende vinkler er supplerende
• Et par sider, der er modsat hinanden, er parallelle og ens i længden. (AB = DC & AB∥DC)
• Diagonalerne halverer hinanden (AO = OC, BO = OD)
• Hver diagonal opdeler firkanten i to kongruente trekanter. (∆ADB ≡ CDBCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Desuden er summen af kvadraterne på siderne lig med summen af kvadraterne på diagonaler. Dette kaldes undertiden parallelogramloven og har udbredte anvendelser inden for fysik og teknik. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Hver af de ovennævnte egenskaber kan bruges som egenskaber, når det først er konstateret, at firsidet er et parallelogram.
Arealet af parallelogrammet kan beregnes ud fra produktet af længden på den ene side og højden til den modsatte side. Derfor kan arealet af parallelogrammet angives som
Areal af parallelogram = bund × højde = AB × h
Arealet af parallelogrammet er uafhængigt af formen på det individuelle parallelogram. Det afhænger kun af bundlængden og den vinkelrette højde.
Hvis siderne af et parallelogram kan repræsenteres af to vektorer, kan området opnås ved størrelsen af vektorproduktet (krydsprodukt) af de to tilstødende vektorer.
Hvis siderne AB og AD er repræsenteret af henholdsvis vektorerne (
) og (
), er området for parallelogrammet givet ved
hvor α er vinklen mellem
og
Følgende er nogle avancerede egenskaber ved parallelogrammet;
• Arealet af et parallelogram er dobbelt så stort som arealet af en trekant oprettet af en af dens diagonaler.
• Arealet af parallelogrammet deles i halvdelen af enhver linje, der passerer midtpunktet.
• Enhver ikke-degenereret affin transformation tager et parallelogram til et andet parallelogram
• Et parallelogram har rotationssymmetri af rækkefølge 2
• Summen af afstandene fra ethvert indre punkt i et parallelogram til siderne er uafhængig af punktets placering
Rektangel
Et firkant med fire rette vinkler er kendt som et rektangel. Det er et specielt tilfælde af parallelogrammet, hvor vinklerne mellem de to tilstødende sider er lige vinkler.
Ud over alle egenskaberne ved et parallelogram kan yderligere egenskaber genkendes, når man overvejer rektangelets geometri.
• Enhver vinkel ved hjørnerne er en ret vinkel.
• Diagonalerne er ens i længden, og de halverer hinanden. Derfor er de gennemskårne sektioner også ens i længden.
• Diagonalernes længde kan beregnes ved hjælp af Pythagoras 'sætning:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Arealformlen reduceres til produktet af længde og bredde.
Areal af rektangel = længde × bredde
• Mange symmetriske egenskaber findes på et rektangel, f.eks.
- Et rektangel er cyklisk, hvor alle hjørnerne kan placeres på omkredsen af en cirkel.
- Det er ækvivalent, hvor alle vinkler er ens.
- Det er isogonal, hvor alle hjørner ligger inden for den samme symmetribane.
- Den har både refleksionssymmetri og rotationssymmetri.
Hvad er forskellen mellem parallelogram og rektangel?
• Parallelogram og rektangel er firsidede. Rektangel er et specielt tilfælde af parallelogrammerne.
• Areal af enhver kan beregnes ved hjælp af formlen base × højde.
• I betragtning af diagonalerne;
- Parallellogrammets diagonaler halverer hinanden og halverer parallelogrammet for at danne to kongruente trekanter.
- Rektanglets diagonaler er ens i længden og halverer hinanden; gennemskårne sektioner er ens i længden. Diagonalerne halverer rektanglet i to kongruente højre trekanter.
• I betragtning af de indre vinkler;
- Modstående indre vinkler af parallelogrammet er ens i størrelse. To tilstødende indre vinkler er supplerende
- Alle fire indvendige vinkler i rektanglet er retvinklede.
• I betragtning af siderne;
- I et parallelogram er summen af kvadraterne på siderne lig med summen af kvadraterne i diagonalen (Parallelogram-lov)
- I rektangler er summen af firkanterne for de to tilstødende sider lig med diagonalens firkant i enderne. (Pythagoras`-regel)
