Kardinal vs ordinær
I vores daglige liv kan brugen af tal have forskellige former i forskellige situationer. For eksempel når vi tæller for at finde ud af størrelsen på en samling objekter, tæller vi dem som en, to, tre osv. Når vi vil tælle noget for at få en fornemmelse af objekternes position, tæller vi dem som første, anden, tredje osv. I den første form for optælling siges tal at være hovedtal. I den anden form for optælling betragtes tallene som ordinære tal. I denne sammenhæng er begreberne kardinal og ordinal fuldstændig et spørgsmål om lingvistik; kardinal og ordinal er adjektiver.
Imidlertid afslører udvidelsen af konceptet til sæt i matematik et meget dybere og bredere perspektiv og kan ikke behandles enkelt. I denne artikel vil vi forsøge at forstå de grundlæggende begreber kardinal og ordinaltal i matematik.
Formelle definitioner af kardinal- og ordinalnumre findes i sætteorien. Definitionerne er indviklede, og for at forstå dem i perfekt forstand har brug for baggrundsviden i sætteori. Derfor vil vi vende os mod et par eksempler for at forstå begreberne heuristisk.
Overvej de to sæt {1,3,6,4,5,2} og {bus, bil, færge, tog, fly, helikopter}. Hvert sæt viser et sæt elementer, og hvis vi tæller antallet af elementer, er det tydeligt, at hver har det samme antal elementer, hvilket er 6. Når vi når frem til denne konklusion, har vi taget størrelsen på et sæt og sammenlignet med et andet ved hjælp af en nummer. Et sådant tal kaldes et hovednummer. Derfor kan vi sige, at et hovedtal er et tal, vi kan bruge til at sammenligne størrelsen på de endelige sæt.
Igen kan det første sæt tal arrangeres i stigende rækkefølge i betragtning af størrelsen på hvert element og sammenligning af dem. I bestillingsprocessen betragtes numrene som kardinaler. Ligeledes kan sættet af alle ikke-negative heltal bestilles i et sæt; dvs. {0,1,2,3,4,…..}. Men i dette tilfælde bliver sættets størrelse uendelig, og det er ikke muligt at give det i form af ordinaler. Uanset hvor stort et tal du vælger for at angive størrelsen på sættet, vil der stadig være tal ude af det sæt, du vælger, og som ikke er negative heltal.
Derfor definerer matematikere denne uendelige kardinal (som er den første) som Aleph-0, skrevet som א (første bogstav i det hebraiske alfabet). Formelt er ordinært nummer ordretypen for et velordnet sæt. Derfor kan det endelige sæt ordinære antal gives med hovedtal, men for uendelige sæt ordinal er givet med transfinite tal som Aleph-0.
Hvad er forskellen mellem hovedtal og ordinære tal?
• Hovednummeret er et tal, der kan bruges til at tælle eller til at give størrelsen på et endeligt bestilt sæt. Alle hovedtal er ordinaler.
• Ordinære tal er tal, der bruges til at give størrelsen på både endelige og uendelige ordnede sæt. Størrelsen på de endelige ordnede sæt er givet ved sædvanlige hindu-arabiske algebraiske tal, og den uendelige sætstørrelse er angivet med transfinite tal.
