Virkelige tal vs imaginære tal
Tal er matematiske objekter, der bruges til at tælle og måle. Definitionen af det har ændret sig gennem årene med tilføjelsen af nul, negative tal, rationelle tal, irrationelle tal og imaginære tal. Selvom det abstrakte fundament for talesystemer vedrører algebraiske strukturer som grupper, ringe og felter, præsenteres kun en intuitiv idé her.
Hvad er et reelt tal?
Uformelt definerende er et reelt tal et tal, hvis firkant er ikke-negativt. I matematisk notation betegner vi sættet med reelle tal ved symbolet R. Derfor for alle x, hvis x ϵ R så x 2 ≥ 0. På en mere streng måde kan introducere sættet med reelle tal som det unikke, komplette fuldstændigt ordnede felt med binær operation + og. sammen med ordrerelationen <. Denne ordrerelation følger trikotomiloven, der siger, at givet to reelle tal x og y, en og kun en af disse 3 holder; x> y, x <y eller x = y.
Et reelt tal kan enten være algebraisk eller transcendentalt afhængigt af om det er en rod af en polynomligning med heltalskoefficienter eller ej. Et reelt tal kan også være enten rationelt eller irrationelt afhængigt af om det kan udtrykkes som et forhold på to heltal eller ej. For eksempel er 2,5 et reelt tal, der er algebraisk og rationelt, men ᴫ er irrationelt såvel som transcendentalt.
Sættet med reelle tal er komplet. Det betyder, at for hver ikke-uundgåelig delmængde af reelle tal, der er afgrænset ovenfor, har en mindste øvre grænse, og ud fra dette kan det udledes, at for hver ikke-uundgåelig delmængde af reelle tal, der er afgrænset nedenfor, har den største nedre grænse. Dette adskiller sættet med reelle tal fra sættet med rationelle tal. Man kan argumentere for, at sættet med reelle tal er bygget ved at udfylde hullerne i sæt af ufuldstændige rationelle tal, hvor hullerne er irrationelle tal.
Hvad er et imaginært tal?
Et imaginært tal er et tal, hvis firkant er negativt. Med andre ord er tal som √ (-1), √ (-100) og √ (- e) imaginære tal. Alle de imaginære tal kan skrives i form ai hvor i er den 'imaginære enhed' √ (-1) og a er et reelt tal, der ikke er nul. (Vær opmærksom på at i 2 = -1). Selvom disse tal synes at være ikke-reelle, og som navnet antyder ikke eksisterer, bruges de i mange vigtige applikationer i den virkelige verden inden for områder som luftfart, elektronik og teknik.
Hvad er forskellen mellem reelle tal og imaginære tal?
• Kvadratet for et reelt tal er ikke-negativt, men kvadratet for et imaginært tal er negativt.
• Sæt med reelle tal danner et komplet totalt ordnet felt, mens sættet med imaginære tal hverken er komplet eller ordnet.
