Cartesian Coordinates vs Polar Coordinates
I geometri er et koordinatsystem et referencesystem, hvor tal (eller koordinater) bruges til entydigt at bestemme placeringen af et punkt eller andet geometrisk element i rummet. Koordinatsystemerne gør det muligt at konvertere de geometriske problemer til et numerisk problem, der danner grundlaget for analytisk geometri.
Det kartesiske koordinatsystem og de polære koordinatsystemer er to af de almindelige koordinatsystemer, der anvendes i matematik.
Kartesiske koordinater
Det kartesiske koordinatsystem bruger den reelle tallinje som reference. I en dimension strækker tallinjen sig fra negativ uendelighed til positiv uendelighed. Når man betragter punktet 0 som starten, kan længden til hvert punkt måles. Dette giver en unik måde at identificere en position på linjen med et enkelt nummer.
Konceptet kan udvides til to og tre dimensioner, hvor der anvendes talelinjer vinkelret på hinanden. De deler alle det samme punkt 0 som starten. Nummerlinjerne betegnes som akser og kaldes ofte X-akse, Y-akse og Z-akse. Afstanden til et punkt langs hver akse startende fra (0, 0, 0), som også er kendt som oprindelsen, og givet som en tuple er kendt som koordinaten for punktet. Et generelt punkt i dette rum kan repræsenteres af koordinaten (x, y, z). I et plan system, hvor der kun er to akser, gives koordinater som (x, y). Et plan skabt af akserne er kendt som et kartesisk plan og ofte omtalt af akserne. F.eks. XY-plan.
Dette generelle punkt kan bruges til at beskrive forskellige geometriske elementer ved at begrænse det generelle punkt til at opføre sig på bestemte måder. For eksempel repræsenterer ligning x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 en cirkel. I stedet for at tegne en cirkel med radius a er det muligt at betegne cirklen med en mere abstrakt måde vist ovenfor.
Polære koordinater
Polære koordinater bruger et differensreferencesystem til at betegne et punkt. Polarkoordinatsystem bruger vinklen mod uret fra den positive retning af x-aksen og den lige linjeafstand til punktet som koordinaterne.
De polære koordinater kan repræsenteres som ovenfor i det todimensionale kartesiske koordinatsystem.
Transformationen mellem polære og kartesiske systemer gives ved følgende forhold:
r = √ (x 2 + y 2) ↔ x = r cosθ, y = r sinθ
θ = tan -1 (x / y)
Hvad er forskellen mellem kartesiske og polære koordinater?
• Kartesiske koordinater bruger talelinjer som akser, og de kan bruges i en, to eller tre dimensioner. Har derfor evnen til at repræsentere lineære, plane og solide geometrier.
• Polære koordinater bruger en vinkel og en længde som koordinaterne, og den kan kun repræsentere lineære og plane geometrier, skønt den kan udvikles til et cylindrisk koordinatsystem til at repræsentere faste geometrier.
• Begge systemer bruges til at repræsentere imaginære tal ved at definere den imaginære akse og spiller en vital rolle i kompleks algebra. Skønt kartesiske koordinater i almindelig form er reelle tal (x, y, z) er koordinaterne i det polære system ikke altid reelle tal; dvs. hvis vinklen er angivet i grader, er koordinater ikke reelle; hvis vinklen er angivet i radianer, er koordinaterne reelle tal.
