Forskel ligning vs differentialligning
Et naturfænomen kan beskrives matematisk ved hjælp af funktioner i et antal uafhængige variabler og parametre. Især når de udtrykkes af en funktion af rumlig position og tid, resulterer det i ligninger. Funktionen kan ændre sig med ændringen i de uafhængige variabler eller parametrene. En uendelig minimal ændring, der sker i funktionen, når en af dens variabler ændres, kaldes afledningen af denne funktion.
En differentialligning er enhver ligning, der indeholder derivater af en funktion såvel som selve funktionen. En simpel differentialligning er Newtons anden bevægelseslov. Hvis et objekt med masse m bevæger sig med acceleration 'a' og bliver handlet med kraft F, fortæller Newtons anden lov os, at F = ma. Også her varierer 'a' med tiden, vi kan omskrive 'a' som; a = dv / dt; v er hastighed. Hastighed er funktion af rum og tid, dvs. v = ds / dt; derfor er 'a' = d 2 s / dt 2.
Når vi holder disse i tankerne, kan vi omskrive Newtons anden lov som en differentialligning;
'F' som en funktion af v og t - F (v, t) = mdv / dt, eller
'F' som en funktion af s og t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Der er to typer af differentialligninger; almindelig differentialligning, forkortet med ODE eller delvis differentialligning, forkortet med PDE. Almindelig differentialligning vil have almindelige derivater (derivater af kun en variabel) i sig. Delvis differentialligning vil have differentielle derivater (derivater af mere end en variabel) i sig.
F.eks. er F = md 2 s / dt 2 en ODE, hvorimod a 2 d 2 u / dx 2 = du / dt er en PDE, den har derivater af t og x.
Forskel ligning er den samme som differentialligning, men vi ser på den i forskellige sammenhænge. I differentialligninger betragtes den uafhængige variabel som tid i sammenhæng med kontinuerligt tidssystem. I et diskret tidssystem kalder vi funktionen som forskelligning.
Forskel ligning er en funktion af forskelle. Forskellene i de uafhængige variabler er tre typer; rækkefølge af tal, diskret dynamisk system og itereret funktion.
I rækkefølge af tal genereres ændringen rekursivt ved hjælp af en regel til at relatere hvert nummer i sekvensen til tidligere numre i sekvensen.
Forskel ligning i et diskret dynamisk system tager noget diskret indgangssignal og producerer udgangssignal.
Difference ligning er et itereret kort til itereret funktion. F.eks. Y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))), …. er sekvensen for en itereret funktion. F (y 0) er den første iterat af y 0. Det k-iterat vil blive betegnet med f k (y 0).
