Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integration er et hovedemne i beregning. I en bredere forstand kan integration ses som den omvendte differentieringsproces. Når man modellerer virkelige problemer, er det let at skrive udtryk, der involverer derivater. I en sådan situation er integrationsoperationen påkrævet for at finde den funktion, der gav det særlige afledte.
Fra en anden vinkel er integration en proces, der opsummerer produktet af en funktion ƒ (x) og δx, hvor δx har tendens til at være en bestemt grænse. Derfor bruger vi integrationssymbolet som ∫. Symbolet ∫ er faktisk det, vi får ved at strække bogstavet s for at henvise til sum.
Riemann Integral
Overvej en funktion y = ƒ (x). Integralet af y mellem a og b, hvor a og b hører til et sæt x, skrives som b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Dette kaldes en bestemt integral af den enkeltværdige og kontinuerlige funktion y = ƒ (x) mellem a og b. Dette giver arealet under kurven mellem a og b. Dette kaldes også Riemann integral. Riemann integral blev oprettet af Bernhard Riemann. Riemann-integrationen af en kontinuerlig funktion er baseret på Jordan-målingen, derfor defineres den også som grænsen for Riemann-summen af funktionen. For en reel værdiansat funktion defineret på et lukket interval, er Riemann-integralen af funktionen i forhold til en partition x 1, x 2,…, x ndefineret på intervallet [a, b] og t 1, t 2,…, t n, hvor x i ≤ t i ≤ x i + 1 for hver i ε {1, 2,…, n}, Riemann sum er defineret som Σ i = o til n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue er en anden type integral, der dækker en lang række sager end Riemann integral gør. Lebesgue-integralen blev introduceret af Henri Lebesgue i 1902. Legesgue-integration kan betragtes som en generalisering af Riemann-integrationen.
Hvorfor har vi brug for at studere en anden integral?
Lad os overveje den karakteristiske funktion ƒ A (x) = { 0 hvis, x ikke ε A 1 hvis, x ε A på et sæt A. Derefter en endelig lineær kombination af karakteristiske funktioner, der er defineret som F (x) = Σ a jeg ƒ E i (x) kaldes simpel funktion, hvis E i kan måles for hver i. Lebesgue-integralen af F (x) over E er betegnet med E ∫ ƒ (x) dx. Funktionen F (x) er ikke Riemann-integrerbar. Lebesgue integral omformulerer derfor Riemann integral, som har nogle begrænsninger for de funktioner, der skal integreres.
Hvad er forskellen mellem Riemann Integral og Lebesgue Integral?
· Lebesgue-integralen er en generaliseringsform for Riemann-integral.
· Lebesgue-integralen tillader en tællelig uendelighed af diskontinuiteter, mens Riemann-integralen tillader et endeligt antal diskontinuiteter.
