Definitive vs Indefinite Integrals
Calculus er en vigtig gren af matematik, og differentiering spiller en kritisk rolle i calculus. Den inverse proces med differentiering er kendt som integration, og den inverse er kendt som integralet, eller ganske enkelt sagt, det inverse af differentiering giver en integral. Baseret på de resultater, de producerer, er integralerne opdelt i to klasser; bestemte og ubestemte integraler.
Mere om ubestemte integraler
Ubestemt integral er mere en generel form for integration, og det kan fortolkes som anti-derivatet af den betragtede funktion. Antag, at differentiering af F giver f, og integrationen af f giver integralet. Det skrives ofte som F (x) = ∫ƒ (x) dx eller F = ∫ƒ dx hvor både F og ƒ er funktioner i x, og F kan differentieres. I ovenstående form kaldes det en Reimann-integral, og den resulterende funktion ledsager en vilkårlig konstant. En ubestemt integral producerer ofte en familie af funktioner; derfor er integralet ubestemt.
Integraler og integrationsproces er kernen i løsningen af differentialligninger. I modsætning til differentieringen følger integrationen imidlertid ikke altid en klar og standard rutine; nogle gange kan løsningen ikke udtrykkes eksplicit med hensyn til elementær funktion. I så fald gives den analytiske løsning ofte i form af en ubestemt integral.
Mere om Definite Integrals
Definitive integraler er de meget værdsatte modstykker til ubestemte integraler, hvor integrationsprocessen faktisk producerer et endeligt antal. Det kan defineres grafisk som det område, der afgrænses af funktionskurven ƒ inden for et givet interval. Når integrationen udføres inden for et givet interval af den uafhængige variabel, producerer integrationen en bestemt værdi, der ofte skrives som en ∫ b ƒ (x) dx eller en ∫ b ƒdx.
De ubestemte integraler og bestemte integraler er sammenkoblet gennem den første grundlæggende sætning af calculus, og det gør det muligt at beregne den bestemte integral ved hjælp af de ubestemte integraler. Teoremet angiver a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a) hvor både F og ƒ er funktioner i x, og F kan differentieres i intervallet (a, b). I betragtning af intervallet er a og b kendt som henholdsvis den nedre og den øvre grænse.
I stedet for kun at stoppe med virkelige funktioner, kan integrationen udvides til komplekse funktioner, og disse integraler kaldes konturintegraler, hvor ƒ er en funktion af den komplekse variabel.
Hvad er forskellen mellem bestemte og ubestemte integraler?
Ubestemte integraler repræsenterer anti-derivatet af en funktion og ofte en familie af funktioner snarere end en bestemt løsning. I bestemte integraler giver integrationen et endeligt antal.
Ubestemte integraler forbinder en vilkårlig variabel (deraf familien af funktioner), og bestemte integraler har ikke en vilkårlig konstant, men en øvre grænse og en nedre grænse for integration.
Ubestemt integral giver normalt en generel løsning på differentialligningen.
