Logaritmisk vs eksponentiel | Eksponentiel funktion vs logaritmisk funktion
Funktioner er en af de vigtigste klasser af matematiske objekter, som i vid udstrækning bruges i næsten alle underfelter af matematik. Som deres navne antyder, er både eksponentiel funktion og logaritmisk funktion to specielle funktioner.
En funktion er en relation mellem to sæt defineret på en sådan måde, at for hvert element i det første sæt er den værdi, der svarer til det i det andet sæt, unik. Lad ƒ være en funktion defineret fra sæt A til sæt B. For hver x ϵ A angiver symbolet ƒ (x) den unikke værdi i sæt B, der svarer til x. Det kaldes billedet af x under ƒ. Derfor er en relation ƒ fra A til B en funktion, hvis og kun hvis, for hver x ϵ A og y ϵ A, hvis x = y så ƒ (x) = ƒ (y). Sæt A kaldes funktionens domæne ƒ, og det er det sæt, hvor funktionen er defineret.
Hvad er eksponentiel funktion?
Den eksponentielle funktion er funktionen givet af ƒ (x) = e x, hvor e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718…) og er et transcendentalt irrationelt tal. En af funktionens specialiteter er, at afledningen af funktionen er lig med sig selv; dvs. når y = e x, dy / dx = e x. Funktionen er også en overalt kontinuerlig stigende funktion, der har x-aksen som en asymptote. Derfor er funktionen også en-til-en. For hver x ϵ R har vi den e x > 0, og det kan vises, at den er på R +. Den følger også den grundlæggende identitet e x + y = e x.e y og e 0= 1. Funktionen kan også repræsenteres ved hjælp af serieudvidelsen givet med 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3! +… + X n / n! + …
Hvad er logaritmisk funktion?
Den logaritmiske funktion er den omvendte af den eksponentielle funktion. Da den eksponentielle funktion er en-til-en og på R +, kan en funktion g defineres fra sættet af positive reelle tal til det sæt reelle tal givet ved g (y) = x, hvis og kun hvis, y = e x. Denne funktion g kaldes den logaritmiske funktion eller oftest som den naturlige logaritme. Det betegnes med g (x) = log e x = ln x. Da det er det omvendte af den eksponentielle funktion, hvis vi tager refleksionen af grafen for den eksponentielle funktion over linjen y = x, så får vi grafen for den logaritmiske funktion. Funktionen er således asymptotisk for y-aksen.
Logaritmisk funktion følger nogle grundlæggende regler, hvoraf ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y og ln xy = y ln x er de vigtigste. Dette er også en stigende funktion, og den er kontinuerlig overalt. Derfor er det også en-til-en. Det kan vises, at det er på R.
Hvad er forskellen mellem eksponentiel funktion og logaritmisk funktion?
• Den eksponentielle funktion er givet af ƒ (x) = e x, mens den logaritmiske funktion er givet af g (x) = ln x, og førstnævnte er den omvendte af sidstnævnte.
• Domænet for den eksponentielle funktion er et sæt reelle tal, men den logaritmiske funktion er et sæt positive reelle tal.
• Området for den eksponentielle funktion er et sæt positive reelle tal, men området for den logaritmiske funktion er et sæt af reelle tal.
