Hyperbola vs Ellipse
Når en kegle skæres i forskellige vinkler, markeres forskellige kurver af kanten af keglen. Disse kurver kaldes ofte koniske sektioner. Mere præcist er en konisk sektion en kurve opnået ved at krydse en højre cirkulær konisk overflade med en plan overflade. Ved forskellige skæringsvinkler gives forskellige keglesnit.
Både hyperbola og ellips er koniske sektioner, og deres forskelle sammenlignes let i denne sammenhæng.
Mere om Ellipse
Når skæringspunktet mellem den koniske overflade og den plane overflade frembringer en lukket kurve, er det kendt som en ellipse. Det har en excentricitet mellem nul og en (0
Linjesegmentet, der passerer gennem foci, er kendt som hovedaksen, og aksen vinkelret på hovedaksen og passerer gennem centrum af ellipsen er kendt som den mindre akse. Diameterne langs hver akse er kendt som henholdsvis den tværgående diameter og den konjugerede diameter. Halvdelen af hovedaksen er kendt som den halv-store akse, og halvdelen af den mindre akse er kendt som den semi-mindre akse.
Hvert punkt F 1 og F 2 er kendt som foci af ellipsen og længderne F 1 + PF 2 = 2a, hvor P er et vilkårligt punkt på ellipsen. Excentricitet e defineres som forholdet mellem afstanden fra et fokus til det vilkårlige punkt (PF 2) og den vinkelrette afstand til det vilkårlige punkt fra directrixen (PD). Det er også lig med afstanden mellem de to foci og den semi-store akse: e = PF / PD = f / a
Den generelle ligning af ellipsen, når den halv-store akse og den semi-mindre akse falder sammen med de kartesiske akser, gives som følger.
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1
Ellipsens geometri har mange anvendelser, især inden for fysik. Planeterne i solsystemet er elliptiske med solen som et fokus. Reflektorerne til antenner og akustiske enheder er lavet i elliptisk form for at drage fordel af det faktum, at enhver emission fra et fokus konvergerer med det andet fokus.
Mere om hyperbola
Hyperbolen er også en konisk sektion, men den er åben. Udtrykket hyperbol henvises til de to frakoblede kurver vist i figuren. I stedet for at lukke som en ellipse fortsætter armene eller grenene af hyperbolen til uendelig.
De punkter, hvor de to grene har den korteste afstand mellem dem, er kendt som hjørnerne. Linjen, der passerer gennem hjørnerne, betragtes som hovedaksen eller den tværgående akse, og det er en af de vigtigste akser for hyperbolen. Parabelens to foci ligger også på hovedaksen. Midtpunktet for linjen mellem de to hjørner er centrum, og længden af linjesegmentet er den semi-store akse. Den vinkelrette halvdel af den halv-store akse er den anden hovedakse, og de to kurver i hyperbolen er symmetriske omkring denne akse. Parabelens excentricitet er større end en; e> 1.
Hvis hovedakserne falder sammen med de kartesiske akser, er den generelle ligning af hyperbolen af formen:
x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, hvor a er den semi-store akse og b er afstanden fra centrum til enten fokus.
Hyperbolerne med åbne ender mod x-aksen er kendt som øst-vest hyperboler. Lignende hyperboler kan også opnås på y-aksen. Disse er kendt som y-akse-hyperboler. Ligningen for sådanne hyperboler tager form
y 2 / a 2 - x 2 / b 2 = 1
Hvad er forskellen mellem hyperbola og ellipse?
• Både ellipser og hyperbola er keglesnit, men ellipsen er en lukket kurve, mens hyperbola består af to åbne kurver.
• Derfor har ellipsen en endelig omkreds, men hyperbolen har en uendelig længde.
• Begge er symmetriske omkring deres hoved- og mindre akse, men directrixens position er forskellig i hvert enkelt tilfælde. I ellipsen ligger den uden for den halv-store akse, mens den i hyperbola ligger i den halv-store akse.
• Excentriciteterne i de to koniske sektioner er forskellige.
0
e Hyperbola > 0
• Den generelle ligning for de to kurver ser ens ud, men de er forskellige.
• Den vinkelrette bisector på hovedaksen skærer kurven i ellipsen, men ikke i hyperbolen.
(Billedkilde: Wikipedia)
