Fourier Series vs Fourier Transform
Fourier-serier nedbryder en periodisk funktion i en sum af sinus og cosinus med forskellige frekvenser og amplituder. Fourier-serien er en gren af Fourier-analysen, og den blev introduceret af Joseph Fourier. Fourier Transform er en matematisk operation, der bryder et signal ind i dets sammensatte frekvenser. Det originale signal, der ændrede sig over tid, kaldes signalets tidsdomænerepræsentation. Fourier-transformen kaldes frekvensdomænerepræsentationen af et signal, da det afhænger af frekvensen. Både frekvensdomænerepræsentationen af et signal og den proces, der bruges til at omdanne signalet til frekvensdomænet, kaldes Fourier-transformationen.
Hvad er Fourier-serien?
Som tidligere nævnt er Fourier-serien en udvidelse af en periodisk funktion ved hjælp af uendelig sum af sinus og cosinus. Fourier-serien blev oprindeligt udviklet ved løsning af varmeligninger, men senere blev det fundet ud af, at den samme teknik kan bruges til at løse et stort sæt matematiske problemer, specielt de problemer, der involverer lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Nu har Fourier-serien anvendelser inden for et stort antal områder, herunder elektroteknik, vibrationsanalyse, akustik, optik, signalbehandling, billedbehandling, kvantemekanik og økonometri. Fourier-serier bruger ortogonalitetsforholdet mellem sinus- og cosinusfunktioner. Beregningen og studiet af Fourier-serier er kendt som den harmoniske analyse og er meget nyttig, når man arbejder med vilkårlige periodiske funktioner,da det gør det muligt at opdele funktionen i enkle termer, der kan bruges til at få en løsning på det oprindelige problem.
Hvad er Fourier Transform?
Fourier-transformation definerer et forhold mellem et signal i tidsdomænet og dets repræsentation i frekvensdomænet. Fourier-transformen nedbryder en funktion til oscillerende funktioner. Da dette er en transformation, kan det oprindelige signal opnås ved at kende transformationen, og derved oprettes eller mistes ingen information i processen. Undersøgelse af Fourier-serien giver faktisk motivation for Fourier-transformationen. På grund af egenskaberne ved sinus og cosinus er det muligt at genvinde mængden af hver bølge bidrager til summen ved hjælp af en integral. Fouriertransformation har nogle basale egenskaber såsom linearitet, translation, modulering, skalering, konjugation, dualitet og foldning. Fourier-transform anvendes til løsning af differentialligninger, da Fourier-transform er tæt knyttet til Laplace-transformation. Fourier-transformation anvendes også i kernemagnetisk resonans (NMR) og i andre former for spektroskopi.
Forskellen mellem Fourier Series og Fourier Transform
Fourier-serien er en udvidelse af periodisk signal som en lineær kombination af sines og cosinus, mens Fourier-transformation er den proces eller funktion, der bruges til at konvertere signaler fra tidsdomæne til frekvensdomæne. Fourier-serien er defineret for periodiske signaler, og Fourier-transformeringen kan anvendes på aperiodiske (forekommer uden periodicitetssignaler). Som nævnt ovenfor giver undersøgelsen af Fourier-serier faktisk motivation for Fourier-transformationen.
