Power Series vs Taylor Series
I matematik er en reel rækkefølge en ordnet liste over reelle tal. Formelt er det en funktion fra sættet med naturlige tal til sættet med reelle tal. Hvis en n er n th sigt af en sekvens, vi betegne sekvensen ved eller af en 1, en 2, …, en n, …. For eksempel overveje sekvensen 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Det kan betegnes som {1 / n}.
Det er muligt at definere en serie ved hjælp af sekvenser. En serie er summen af vilkårene for en sekvens. Derfor er der for hver sekvens en tilknyttet sekvens og omvendt. Hvis {a n} er den sekvens, der overvejes, kan serien dannet af denne sekvens repræsenteres som:
I ovenstående eksempel, den tilhørende serien er således 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Som navnene antyder, er power-serien en speciel type serie, og den bruges i vid udstrækning i numerisk analyse og relateret matematisk modellering. Taylor-serien er en speciel power-serie, der giver en alternativ og let at manipulere måde at repræsentere kendte funktioner på.
Hvad er Power-serien?
En magtserie er en serie af formen
som er konvergent (muligvis) i et interval centreret ved c. Koefficienterne a n kan være reelle eller komplekse tal og er uafhængige af x; dvs. dummy-variablen.
For eksempel, ved at indstille en n = 1 for hver n, og c = 0, opnås effektserien 1 + x + x 2 + ….. + x n +…. Det er let at observere, at når x ε (-1,1), konvergerer denne magtserie til 1 / (1-x).
En effektserie konvergerer, når x = c. De andre værdier af x, for hvilke effektserien konvergerer, har altid form af et åbent interval centreret ved c. Det vil sige, at der vil være en værdi 0≤ R ≤ ∞, således at for hver x tilfredsstillende | xc | ≤ R er effektserien konvergent, og for hver x tilfredsstillende | xc |> R er effektserien divergerende. Denne værdi R kaldes magt-seriens konvergensradius (R kan tage enhver reel værdi eller positiv uendelighed).
Power-serien kan tilføjes, trækkes, multipliceres og deles ved hjælp af følgende regler. Overvej de to magt-serier:
Derefter,
dvs. lignende udtryk tilføjes eller trækkes sammen. Det er også muligt at multiplicere og dele de to magtserier ved hjælp af identiteten,
Hvad er Taylor-serien?
Taylor-serien er defineret for en funktion f (x), der er uendelig differentierbar i et interval. Antag, at f (x) kan differentieres i et interval centreret ved c. Derefter magtserien, som er givet af
kaldes Taylor-seriens udvidelse af funktionen f (x) omkring c. (Her betegner f (n) (c) det niende derivat ved x = c). I numerisk analyse anvendes et endeligt antal udtryk i denne uendelige udvidelse til beregning af værdier på punkter, hvor serien er konvergent til den oprindelige funktion.
En funktion f (x) siges at være analytisk i intervallet (a, b), hvis Taylor-serien af f (x) for hver x ε (a, b) konvergerer til funktionen f (x). For eksempel er 1 / (1-x) analytisk på (-1,1), da Taylor-udvidelsen 1 + x + x 2 + ….. + x n + … konvergerer til funktionen i dette interval, og e x er analytisk overalt, da Taylor-serien af e x konvergerer til e x for hvert reelle tal x.
Hvad er forskellen mellem Power-serien og Taylor-serien?
1. Taylor-serien er en speciel klasse af power-serier, der kun er defineret for funktioner, der er uendeligt differentierbare i et åbent interval.
2. Taylor-serien tager den specielle form
mens en magtserie kan være en hvilken som helst serie af formen
