Derivat vs Differential
I differentialregning er afledte og differentierede af en funktion tæt beslægtede, men har meget forskellige betydninger og bruges til at repræsentere to vigtige matematiske objekter relateret til differentierbare funktioner.
Hvad er derivat?
Afledt af en funktion måler den hastighed, hvormed funktionsværdien ændres, når dens input ændres. I multivariabelfunktioner afhænger ændringen af funktionsværdien af retningen for ændringen af værdierne for de uafhængige variabler. Derfor vælges i sådanne tilfælde en bestemt retning, og funktionen differentieres i den bestemte retning. Dette derivat kaldes retningsderivatet. Delvise derivater er en særlig form for retningsderivater.
Afledt af en vektorværdifunktion f kan defineres som grænsen,
hvor den endeligt findes. Som tidligere nævnt giver dette os stigningstakten for funktionen f i retning af vektoren u. I tilfælde af en enkeltværdifunktion reduceres dette til den velkendte definition af derivatet,
For eksempel
er overalt differentierbar, og afledningen er lig med grænsen
som er lig med
. Derivater af funktioner som
findes overalt. De er henholdsvis lig med funktionerne
Dette er kendt som det første derivat. Normalt betegnes det første afledte af funktion f med f (1). Nu ved hjælp af denne notation er det muligt at definere derivater af højere ordre.
er retningsderivatet i anden orden, og betegner det n - derivat med f (n) for hver n
definerer det n - derivat.
Hvad er differentieret?
Differentiale for en funktion repræsenterer ændringen i funktionen med hensyn til ændringer i den uafhængige variabel eller variabler. Ved den sædvanlige notation for en given funktion f af en enkelt variabel x, den samlede forskellen af orden 1 df er givet ved,
. Dette betyder, at for en uendelig minimal ændring i x (dvs. dx), vil der være af (1) (x) dx ændring i f.
Ved hjælp af grænser kan man ende med denne definition som følger. Antag, at ∆ x er ændringen i x ved et vilkårligt punkt x, og ∆ f er den tilsvarende ændring i funktionen f. Det kan vises, at ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, hvor ϵ er fejlen. Nu er grænsen ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (ved hjælp af den tidligere angivne definition af afledt) og således ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Derfor er det muligt at konkludere, at, ∆ x → 0 ϵ = 0. Nu, der betegner ∆ x → 0 ∆ f som df og ∆ x → 0 x x som dx, opnås definitionen af differencen strengt.
For eksempel forskellen af funktionen
er
I tilfælde af funktioner af to eller flere variabler defineres den samlede forskel for en funktion som summen af differentier i retning af hver af de uafhængige variabler. Matematisk kan det anføres som
Hvad er forskellen mellem afledt og differentieret?
• Derivat henviser til en ændringshastighed for en funktion, mens differencen henviser til den faktiske ændring af funktionen, når den uafhængige variabel udsættes for ændring.
• Derivatet er givet af
men differencen er givet ved
