Differentiering vs afledt
I differentieret beregning er afledte og differentierede nært beslægtede, men meget forskellige, og bruges til at repræsentere to vigtige matematiske begreber relateret til funktioner.
Hvad er derivat?
Afledt af en funktion måler den hastighed, hvormed funktionsværdien ændres, når dens input ændres. I multivariabelfunktioner afhænger ændringen af funktionsværdien af retningen for ændringen af værdierne for de uafhængige variabler. Derfor vælges i sådanne tilfælde en bestemt retning, og funktionen differentieres i den bestemte retning. Dette derivat kaldes retningsderivatet. Delvise derivater er en særlig form for retningsderivater.
Afledt af en vektorværdifunktion f kan defineres som grænsen,
hvor den endeligt findes. Som tidligere nævnt giver dette os stigningstakten for funktionen f i retning af vektoren u. I tilfælde af en enkeltværdifunktion reduceres dette til den velkendte definition af derivatet,
For eksempel
er overalt differentierbar, og afledningen er lig med grænsen
som er lig med
. Derivater af funktioner som
findes overalt. De er henholdsvis lig med funktionerne
Dette er kendt som det første derivat. Normalt betegnes det første afledte af funktion f med f (1). Nu ved hjælp af denne notation er det muligt at definere derivater af højere ordre.
er retningsderivatet i anden orden, og betegner det n - derivat med f (n) for hver n
definerer det n - derivat.
Hvad er differentiering?
Differentiering er processen med at finde derivatet af en differentierbar funktion. D-operator betegnet med D repræsenterer differentiering i nogle sammenhænge. Hvis x er den uafhængige variabel, så er D ≡ d / dx. D-operatoren er en lineær operator, dvs. for en hvilken som helst to differentierbar funktion f og g og konstant c, efter at egenskaberne holdes.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Ved hjælp af D-operatøren kan de andre regler, der er forbundet med differentiering, udtrykkes som følger. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 og D (tåge) = (D (f) og) D (g).
For eksempel, når F (x) = x 2 sin x differentieres i forhold til x ved hjælp af de givne regler, vil svaret være 2 x sin x + x 2 cos x.
Hvad er forskellen mellem differentiering og derivat?
• Derivat refererer til en ændringshastighed for en funktion
• Differentiering er processen med at finde afledningen af en funktion.
