Lineære vs ikke-lineære differentialligninger
En ligning, der indeholder mindst en differentiel koefficient eller derivat af en ukendt variabel, er kendt som en differentialligning. En differentialligning kan være enten lineær eller ikke-lineær. Omfanget af denne artikel er at forklare, hvad der er lineær differentialligning, hvad der er ikke-lineær differentialligning, og hvad er forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger.
Siden matematikerne som Newton og Leibnitz udviklede sig i det 18. århundrede, har differentialligning spillet en vigtig rolle i historien om matematik. Differentialligninger er af stor betydning i matematik på grund af deres anvendelsesområde. Differentialligninger er kernen i enhver model, vi udvikler for at forklare ethvert scenario eller begivenhed i verden, hvad enten det er inden for fysik, teknik, kemi, statistik, finansiel analyse eller biologi (listen er uendelig). Faktisk, indtil beregning blev en etableret teori, var korrekte matematiske værktøjer utilgængelige til at analysere de interessante problemer i naturen.
Resulterende ligninger fra en bestemt anvendelse af beregning kan være meget komplekse og nogle gange ikke løselige. Der er dog nogle, som vi kan løse, men kan se ens og forvirrende ud. Derfor er differentialligninger kategoriseret efter deres matematiske opførsel for lettere identifikation. Lineær og ikke-lineær er en sådan kategorisering. Det er vigtigt at identificere forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger.
Hvad er en lineær differentialligning?
Antag at f: X → Y og f (x) = y, en differentialligning uden ikke-lineære udtryk for den ukendte funktion y og dens derivater er kendt som en lineær differentialligning.
Det pålægger den betingelse, at y ikke kan have højere indeksudtryk såsom y 2, y 3, … og multipla af derivater såsom
Det kan heller ikke indeholde ikke-lineære udtryk som Sin y, e y ^ -2 eller ln y. Det tager form,
hvor y og g er funktioner i x. Ligningen er en differentialligning af rækkefølge n, som er indekset for den højeste ordens afledte.
I en lineær differentialligning er den differentielle operator en lineær operator, og opløsningerne danner et vektorrum. Som et resultat af løsningssættets lineære natur er en lineær kombination af opløsningerne også en løsning på differentialligningen. Det vil sige, hvis y 1 og y 2 er opløsninger af differentialligningen, derefter C 1 y 1 + C 2 y 2 er også en løsning.
Ligningens linearitet er kun en parameter i klassificeringen, og den kan yderligere kategoriseres i homogene eller ikke-homogene og almindelige eller delvise differentialligninger. Hvis funktionen er g = 0, er ligningen en lineær homogen differentialligning. Hvis f er en funktion af to eller flere uafhængige variabler (f: X, T → Y) og f (x, t) = y, er ligningen en lineær delvis differentialligning.
Løsningsmetode til differentialligningen afhænger af typen og koefficienterne for differentialligningen. Den nemmeste sag opstår, når koefficienterne er konstante. Klassisk eksempel i denne sag er Newtons anden bevægelseslov og dens forskellige anvendelser. Newtons anden lov producerer en anden ordens lineær differentialligning med konstante koefficienter.
Hvad er en ikke-lineær differentialligning?
Ligninger, der indeholder ikke-lineære udtryk, er kendt som ikke-lineære differentialligninger.
Ovenstående er ikke-lineære differentialligninger. Ikke-lineære differentialligninger er vanskelige at løse, og det er derfor nødvendigt med nøje undersøgelse for at opnå en korrekt løsning. I tilfælde af delvise differentialligninger har de fleste ligninger ingen generel løsning. Derfor skal hver ligning behandles uafhængigt.
Navier-Stokes ligning og Eulers ligning i fluid dynamik, Einsteins feltligninger af generel relativitet er velkendte ikke-lineære partielle differentialligninger. Undertiden kan anvendelsen af Lagrange-ligning på et variabelt system resultere i et system med ikke-lineære partielle differentialligninger.
Hvad er forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger?
• En differentialligning, der kun har de lineære termer for den ukendte eller afhængige variabel og dens derivater, er kendt som en lineær differentialligning. Det har ingen betegnelse med den afhængige variabel af indeks højere end 1 og indeholder ikke flere af dets derivater. Det kan ikke have ikke-lineære funktioner såsom trigonometriske funktioner, eksponentiel funktion og logaritmiske funktioner med hensyn til den afhængige variabel. Enhver differentialligning, der indeholder ovennævnte termer, er en ikke-lineær differentialligning.
• Løsninger af lineære differentialligninger skaber vektorrum, og differentialoperatøren er også en lineær operator i vektorrum.
• Løsninger af lineære differentialligninger er relativt lettere, og der findes generelle løsninger. For ikke-lineære ligninger findes i de fleste tilfælde den generelle løsning ikke, og løsningen kan være problemspecifik. Dette gør løsningen meget vanskeligere end de lineære ligninger.
