Gensidigt eksklusive vs uafhængige begivenheder
Folk forveksler ofte begrebet gensidigt eksklusive begivenheder med uafhængige begivenheder. Faktisk er disse to forskellige ting.
Lad A og B være to hændelser forbundet med et tilfældigt eksperiment E. P (A) kaldes "sandsynligheden for A". På samme måde kan vi definere sandsynligheden for B som P (B), sandsynligheden for A eller B som P (A∪B) og sandsynligheden for A og B som P (A∩B). Derefter er P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
To begivenheder siges dog at være gensidigt eksklusive, hvis forekomsten af en begivenhed ikke påvirker den anden. Med andre ord kan de ikke forekomme samtidigt. Derfor, hvis to begivenheder A og B udelukker hinanden, er A∩B = ∅, og derfor indebærer det P (A∪B) = P (A) + P (B).
Lad A og B være to begivenheder i et prøveområde S. Betinget sandsynlighed for A, givet at B er opstået, betegnes med P (A | B) og defineres som; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), forudsat at P (B)> 0. (ellers er det ikke defineret.)
En begivenhed A siges at være uafhængig af en begivenhed B, hvis sandsynligheden for, at A opstår, ikke påvirkes af, om B har fundet sted eller ej. Med andre ord har resultatet af begivenhed B ingen effekt på resultatet af begivenheden A. Derfor er P (A | B) = P (A). Tilsvarende er B uafhængig af A, hvis P (B) = P (B | A). Derfor kan vi konkludere, at hvis A og B er uafhængige begivenheder, så er P (A∩B) = P (A). P (B)
Antag, at en nummereret terning rulles, og at en fair mønt vendes. Lad A være den begivenhed, der får et hoved, og B er den begivenhed, der ruller et lige antal. Så kan vi konkludere, at begivenhederne A og B er uafhængige, fordi resultatet af den ene ikke påvirker resultatet af den anden. Derfor er P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Da P (A∩B) ≠ 0, kan A og B ikke udelukke hinanden.
Antag at en urne indeholder 7 hvide kugler og 8 sorte kugler. Definer begivenhed A som tegning af en hvid marmor og begivenhed B som tegning af en sort marmor. Hvis vi antager, at hver marmor udskiftes efter at have noteret farven, vil P (A) og P (B) altid være den samme, uanset hvor mange gange vi trækker fra urnen. Udskiftning af kugler betyder, at sandsynlighederne ikke skifter fra lodtrækning til trækning, uanset hvilken farve vi valgte ved den sidste trækning. Derfor er begivenhed A og B uafhængige.
Men hvis kugler blev trukket uden udskiftning, ændres alt. Under denne antagelse er begivenhederne A og B ikke uafhængige. Tegning af en hvid marmor første gang ændrer sandsynligheden for at tegne en sort marmor ved den anden tegning og så videre. Med andre ord har hver lodtrækning effekt på den næste lodtrækning, og de enkelte lodtrækninger er således ikke uafhængige.
Forskellen mellem gensidigt eksklusive og uafhængige begivenheder
- Gensidig eksklusivitet af begivenheder betyder, at der ikke er nogen overlapning mellem sæt A og B. Uafhængighed af begivenheder betyder, at der sker A påvirker ikke B.
- Hvis to begivenheder A og B udelukker hinanden, er P (A∩B) = 0.
- Hvis to hændelser A og B uafhængige, så er P (A∩B) = P (A). P (B)
