Afhængig vs uafhængige begivenheder
I vores daglige liv støder vi på begivenheder med usikkerhed. For eksempel en chance for at vinde et lotteri, du køber, eller en chance for at få det job, du ansøgte. Grundlæggende teori om sandsynlighed bruges til matematisk at bestemme chancen for at ske noget. Sandsynlighed er altid forbundet med tilfældige eksperimenter. Et eksperiment med flere mulige resultater siges at være et tilfældigt eksperiment, hvis resultatet på et enkelt forsøg ikke kan forudsiges på forhånd. Afhængige og uafhængige begivenheder er udtryk, der anvendes i sandsynlighedsteori.
En begivenhed B siges at være uafhængig af en begivenhed A, hvis sandsynligheden for, at B opstår, ikke påvirkes af, om A har fundet sted eller ej. Simpelthen er to begivenheder uafhængige, hvis resultatet af den ene ikke påvirker sandsynligheden for forekomst af den anden begivenhed. Med andre ord er B uafhængig af A, hvis P (B) = P (B | A). Tilsvarende er A uafhængig af B, hvis P (A) = P (A | B). Her betegner P (A | B) den betingede sandsynlighed A, forudsat at B er sket. Hvis vi overvejer at kaste to terninger, har et tal, der vises i en matrice, ingen indflydelse på, hvad der er kommet op i den anden terning.
For hvilke som helst to begivenheder A og B i et prøveområde S; den betingede sandsynlighed for A, givet at B er opstået, er P (A | B) = P (A∩B) / P (B). Så hvis begivenhed A er uafhængig af begivenhed B, så betyder P (A) = P (A | B), at P (A∩B) = P (A) x P (B). Tilsvarende, hvis P (B) = P (B | A), så holder P (A∩B) = P (A) x P (B). Derfor kan vi konkludere, at de to begivenheder A og B er uafhængige, hvis og kun hvis betingelse P (A∩B) = P (A) x P (B) holder.
Lad os antage, at vi ruller en matrice og smider en mønt samtidigt. Derefter er sættet med alle mulige resultater eller prøveområdet S = {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Lad begivenhed A være begivenheden for at få hoveder, så er sandsynligheden for begivenhed A, P (A) 6/12 eller 1/2, og lad B være begivenheden for at få et multiplum af tre på formen. Derefter P (B) = 4/12 = 1/3. En af disse to begivenheder har ingen indflydelse på forekomsten af den anden begivenhed. Derfor er disse to begivenheder uafhængige. Da sættet (A∩B) = {(3, H), (6, H)}, er sandsynligheden for, at en begivenhed får hoveder og multiplum af tre på die, dvs. P (A∩B) 2/12 eller 1/6. Multiplikationen, P (A) x P (B) er lig med 1/6. Da de to begivenheder A og B holder betingelsen, kan vi sige, at A og B er uafhængige begivenheder.
Hvis resultatet af en begivenhed er påvirket af resultatet af den anden begivenhed, siges begivenheden at være afhængig.
Antag, at vi har en pose, der indeholder 3 røde kugler, 2 hvide kugler og 2 grønne kugler. Sandsynligheden for at trække en hvid bold tilfældigt er 2/7. Hvad er sandsynligheden for at trække en grøn kugle? Er det 2/7?
Hvis vi havde trukket den anden bold efter at have udskiftet den første bold, er denne sandsynlighed 2/7. Men hvis vi ikke erstatter den første kugle, som vi har taget ud, har vi kun seks kugler i posen, så sandsynligheden for at trække en grøn kugle er nu 2/6 eller 1/3. Derfor er den anden begivenhed afhængig, da den første begivenhed har en effekt på den anden begivenhed.
Hvad er forskellen mellem afhængig begivenhed og uafhængig begivenhed?
