Afvigelse vs standardafvigelse
Afvigelse vs standardafvigelse
I beskrivende og inferentiel statistik bruges flere indekser til at beskrive et datasæt svarende til dets centrale tendens, spredning og skævhed. I statistisk slutning er disse almindeligt kendt som estimatorer, da de estimerer værdierne for populationsparametre.
Dispersion er målestok for spredningen af data rundt i midten af datasættet. Standardafvigelse er et af de mest anvendte målinger af spredning. Afvigelserne for hvert datapunkt fra gennemsnittet tages i betragtning ved beregning af standardafvigelsen. Derfor kan man argumentere for, at standardafvigelsen sammen med middelværdien giver et næsten tilstrækkeligt billede af et datasæt.
Overvej følgende datasæt. Vægten på 10 personer (i kg) måles til at være 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 og 79. Derefter er gennemsnitsvægten for de ti personer (i kg) 71 (i kg).
Hvad er afvigelse?
I statistik betyder afvigelse det beløb, hvormed et enkelt datapunkt adskiller sig fra en fast værdi som gennemsnittet. Lad k generelt være en fast værdi, og x 1, x 2,…, x n betegner et datasæt. Derefter defineres afvigelsen på x j fra k til at være (x j - k).
For eksempel er de ovennævnte datasæt de respektive afvigelser fra gennemsnittet (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 og (79 - 71) = 8.
Hvad er standardafvigelse?
Når data fra hele befolkningen kan tages i betragtning (for eksempel i tilfælde af folketælling), er det muligt at beregne befolkningsstandardafvigelsen. For at beregne standardafvigelsen for befolkningen beregnes først afvigelserne af dataværdier fra populationsgennemsnittet. Rødets middelkvadrat (kvadratisk gennemsnit) af afvigelser kaldes populationsstandardafvigelse. I symboler er σ = √ {∑ (x i- µ) 2 / n} hvor µ er populationsgennemsnittet og n er populationsstørrelsen.
Når data fra en prøve (af størrelse n) bruges til at estimere parametre for populationen, beregnes prøveens standardafvigelse. Først beregnes afvigelserne af dataværdier fra stikprøven. Eftersom gennemsnittet af prøven bruges i stedet for populationsgennemsnittet (hvilket er ukendt), er det ikke hensigtsmæssigt at tage det kvadratiske gennemsnit. For at kompensere for brugen af prøve middelværdien divideres summen af kvadrater af afvigelser med (n-1) i stedet for n. Prøvestandardafvigelsen er kvadratroden af dette. I matematiske symboler er S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, hvor S er standardafvigelsen for prøven, ẍ er gennemsnittet af prøven, og xi er datapunkterne.
I det forrige datasæt er summen af afvigelses kvadrater (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Befolkningsstandardafvigelsen er således √ (366/10) = 6,05 (i kg). (Forudsat at den pågældende befolkning består af de 10 personer, hvorfra dataene blev hentet).
Hvad er forskellen mellem afvigelse og standardafvigelse?
• Standardafvigelse er et statistisk indeks og en estimator, men afvigelse er ikke.
• Standardafvigelse er et mål for spredning af en klynge af data fra centrum, hvorimod afvigelse refererer til det beløb, hvormed et enkelt datapunkt adskiller sig fra en fast værdi.
