Tilfældige variabler vs sandsynlighedsfordeling
Statistiske eksperimenter er tilfældige eksperimenter, der kan gentages på ubestemt tid med et kendt sæt resultater. Både tilfældige variabler og sandsynlighedsfordelinger er forbundet med sådanne eksperimenter. For hver tilfældig variabel er der en tilknyttet sandsynlighedsfordeling defineret af en funktion kaldet kumulativ fordelingsfunktion.
Hvad er en tilfældig variabel?
En tilfældig variabel er en funktion, der tildeler numeriske værdier til resultaterne af et statistisk eksperiment. Med andre ord er det en funktion defineret fra prøveområdet for et statistisk eksperiment i sættet med reelle tal.
Overvej f.eks. Et tilfældigt eksperiment med at vende en mønt to gange. De mulige resultater er HH, HT, TH og TT (H - hoveder, T - historier). Lad variablen X være antallet af observerede hoveder i eksperimentet. Derefter kan X tage værdierne 0, 1 eller 2, og det er en tilfældig variabel. Her vil den tilfældige variabel X kortlægge sættet S = {HH, HT, TH, TT} (prøveområdet) til sættet {0, 1, 2} på en sådan måde, at HH kortlægges til 2, HT og TH er kortlagt til 1 og TT er kortlagt til 0. I funktionsnotation kan dette skrives som, X: S → R hvor X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 og X (TT) = 0.
Der er to typer tilfældige variabler: diskret og kontinuerlig, derfor er antallet af mulige værdier, som en tilfældig variabel kan antage, højst tælles eller ej. I det foregående eksempel er den tilfældige variabel X en diskret tilfældig variabel, da {0, 1, 2} er et endeligt sæt. Overvej nu det statistiske eksperiment med at finde de studerendes vægte i en klasse. Lad Y være den tilfældige variabel, der er defineret som en elevs vægt. Y kan tage enhver reel værdi inden for et bestemt interval. Derfor er Y en kontinuerlig tilfældig variabel.
Hvad er en sandsynlighedsfordeling?
Sandsynlighedsfordeling er en funktion, der beskriver sandsynligheden for, at en tilfældig variabel tager bestemte værdier.
En funktion kaldet kumulativ fordelingsfunktion (F) kan defineres fra sættet med reelle tal til sættet med reelle tal som F (x) = P (X ≤ x) (sandsynligheden for at X er mindre end eller lig med x) for hvert muligt resultat x. Nu kan den kumulative fordelingsfunktion af X i det første eksempel skrives som F (a) = 0, hvis a <0; F (a) = 0,25, hvis 0≤a <1; F (a) = 0,75, hvis 1≤a <2 og F (a) = 1, hvis a≥2.
I tilfælde af diskrete tilfældige variabler kan en funktion defineres fra sættet af mulige resultater til sættet med reelle tal på en sådan måde, at ƒ (x) = P (X = x) (sandsynligheden for, at X er lig med x) for hvert mulige resultat x. Denne særlige funktion ƒ kaldes sandsynlighedsmassefunktionen for den tilfældige variabel X. Nu kan sandsynlighedsmassefunktionen for X i det første bestemte eksempel skrives som ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 og ƒ (x) = 0 ellers. Således vil sandsynlighedsmassefunktion sammen med den kumulative fordelingsfunktion beskrive sandsynlighedsfordelingen af X i det første eksempel.
I tilfælde af kontinuerlige tilfældige variabler kan en funktion kaldet sandsynlighedsdensitetsfunktionen (ƒ) defineres som ƒ (x) = dF (x) / dx for hver x, hvor F er den kumulative fordelingsfunktion for den kontinuerlige tilfældige variabel. Det er let at se, at denne funktion opfylder ∫ƒ (x) dx = 1. Sandsynlighedsdensitetsfunktionen sammen med den kumulative fordelingsfunktion beskriver sandsynlighedsfordelingen for en kontinuerlig tilfældig variabel. For eksempel beskrives normalfordelingen (som er en kontinuerlig sandsynlighedsfordeling) ved hjælp af sandsynlighedsdensitetsfunktionen ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Hvad er forskellen mellem tilfældige variabler og sandsynlighedsfordeling?
• Tilfældig variabel er en funktion, der knytter værdierne i et prøveområde til et reelt tal.
• Sandsynlighedsfordeling er en funktion, der forbinder værdier, som en tilfældig variabel kan tage til den respektive sandsynlighed for forekomst.
