Integration vs Summation
I ovenstående gymnasies matematik findes integration og summering ofte i matematiske operationer. De bruges tilsyneladende som forskellige værktøjer og i forskellige situationer, men de deler et meget tæt forhold.
Mere om Summation
Summation er operationen for at tilføje en række af tal, og operationen betegnes ofte med det græske bogstav med stort sigma Σ. Det bruges til at forkorte summationen og lig med summen / summen af sekvensen. De bruges ofte til at repræsentere serien, som i det væsentlige er uendelige sekvenser opsummeret. De kan også bruges til at indikere summen af vektorer, matricer eller polynomer.
Summationen foretages normalt for en række værdier, der kan repræsenteres af et generelt udtryk, såsom en serie, der har et fælles udtryk. Startpunktet og slutpunktet for summeringen er henholdsvis kendt som den nedre grænse og den øvre grænse for summeringen.
For eksempel er summen af sekvensen a 1, a 2, a 3, a 4, …, a n en 1 + a 2 + a 3 + … + a n, som let kan repræsenteres ved hjælp af summeringsnotationen som ∑ n i = 1 a i; jeg kaldes summeringsindekset.
Mange variationer bruges til opsummeringen baseret på applikationen. I nogle tilfælde kan den øvre og nedre grænse gives som et interval eller et interval, såsom ∑ 1≤i≤100 a i og ∑ i∈ [1.100] a i. Eller det kan gives som et sæt tal som ∑ i∈P a i, hvor P er et defineret sæt.
I nogle tilfælde kan to eller flere sigma-tegn bruges, men de kan generaliseres som følger; ∑ j ∑ k a jk = ∑ j, k a jk.
Sammenfatningen følger også mange algebraiske regler. Da den indlejrede operation er tilføjelsen, kan mange af de almindelige regler for algebra anvendes på selve summen og for de individuelle vilkår, der er afbildet af summeringen.
Mere om integration
Integrationen er defineret som den omvendte differentieringsproces. Men i sin geometriske visning kan det også betragtes som det område, der er omgivet af funktionskurven og aksen. Derfor giver beregning af arealet værdien af en bestemt integral som vist i diagrammet.
Billedkilde:
Værdien af den bestemte integral er faktisk summen af de små strimler inde i kurven og aksen. Arealet for hver strimmel er højden × bredden på det punkt på den betragtede akse. Bredde er en værdi, vi kan vælge, siger ∆x. Og højden er omtrent værdien af funktionen på det betragtede punkt, siger f (x i). Fra diagrammet er det tydeligt, at jo mindre strimlerne er bedre, passer strimlerne inden i det afgrænsede område, derfor bedre tilnærmelse af værdien.
Generelt er den bestemte integral I mellem punkterne a og b (dvs. i intervallet [a, b] hvor en
Som en generalisering fra ovenstående koncept kan vi vælge ∆x baseret på det betragtede interval indekseret af i (vælg områdets bredde baseret på positionen). Så får vi
I = lim ∆x → 0 ∑ n i = 1 f (x i) ∆x i = a ∫ b f (x) dx
Dette er kendt som Reimann Integral af funktionen f (x) i intervallet [a, b]. I dette tilfælde er a og b kendt som den øvre og nedre grænse for integralet. Reimann integral er en grundlæggende form for alle integrationsmetoder.
I det væsentlige er integration summeringen af området, når bredden på rektanglet er uendelig.
Hvad er forskellen mellem integration og summation?
• Summation er sammenlægning af en række af tal. Normalt gives summeringen i denne form ∑ n i = 1 a i, når udtrykkene i sekvensen har et mønster og kan udtrykkes ved hjælp af et generelt udtryk.
• Integration er grundlæggende det område, der afgrænses af funktionskurven, aksen og øvre og nedre grænser. Dette område kan angives som summen af meget mindre områder inkluderet i det afgrænsede område.
• Summation involverer de diskrete værdier med den øvre og nedre grænse, mens integrationen involverer kontinuerlige værdier.
• Integration kan tolkes som en særlig form for summering.
• I numeriske beregningsmetoder udføres integration altid som en summering.
